14/1/13

Aplicación de la Bisectriz y mediatriz en la construcción de octógonos

Una de las aplicaciones más chulas de la bisectriz y la mediatriz es la construcción de polígonos regulares y de estrellas.
Repasa los apuntes dados en clase sobre la definición y elementos de un polígono aquí.
Veamos los diferentes polígonos que vamos a aprender a dibujar:
Estas construcciones se pueden hacer por medio de dos procedimientos:
  1. Utilizando el compás con ayuda de la mediatriz y bisectriz.
  2. Utilizando la escuadra y cartabón para dibujar los a´ngulos de 90º y 45º.
Os dejo a continuación dos vídeos que muestran estas dos posibilidades:



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OCTÓGONOS CON PAPIROFLEXIA

Un ejercicio muy interesante es el que nos proponen en el blog de matemáticas "Gaussianos" sobre cómo hacer un octógono plegando papel. Lo copio con exactitud a continuación:

CutOutFoldUp, la web sobre desarrollos planos de figuras para hacer en papel de la que os hablé en este Sumatorio de Enlaces, es un auténtico filón para todo lo que tiene que ver con las matemáticas y el papel. Os recomiendo que le echéis un vistazo en profundidad, seguro que descubriréis bastantes pequeñas maravillas.
En este artículo os traigo dos de ellas. En concreto os voy a explicar dos formas de dibujar un octógono regular (polígono regular de ocho lados) que explican enCutOutFoldUp mediante dobleces en papel.

Primera construcción de un octógono regular

Esta primera construcción de un octógono regular es bien sencilla. Os la voy a explicar paso a paso usando las imágenes que aparecen en CutOutFoldUp:
  1. Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales:
    Estas dos diagonales se cortan en el centro del cuadrado.
  2. Dibujamos ahora el punto medio de cada uno de los cuatro segmentos que van desde un vértice hasta el centro del triángulo, trazando para cada uno de ellos el segmento perpendicular a él que pasa por dicho punto medio. Cada una de esos segmentos cortará a dos lados del cuadrado en sus puntos medios:
  3. Para cada uno de estos puntos de corte con los lados trazamos la bisectriz del ángulo que forma el segmento calculado antes y el lado del cuadrado al que corta (en línea discontinua):
  4. Estas bisectrices se cortan en cuatro puntos, que junto con los cuatro puntos medios de los lados del cuadrado forman un octógono regular:
Y ahora os dejo un applet de GeoGebra donde se puede ver el resultado de todos los pasos anteriores y también que en realidad el objeto encontrado es un octógono regular (seleccionando la casilla Octógono regular, el applet muestra un octógono regular, viéndose entonces que coincide con lo que hemos obtenido anteriormente):
[geogebra width="622" height="506" image="http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono1.JPG"]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono1.ggb[/geogebra]
El enlace a CutoutFoldUp donde aparece esta construcción es éste.

Segunda construcción de un octógono regular

Vamos ahora con la segunda construcción que aparece en esta interesante web. Igual que antes, os muestro todos los pasos de la misma:
  1. Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales:
    que, como antes, se cortan en el centro de dicho cuadrado.
  2. Dibujamos las bisectrices de los ángulos formados por una diagonal y un lado del cuadrado. En total son 8:
  3. Con ello obtenemos un octógono regular en el centro del cuadrado cuyos vértices son 8 puntos de corte de dichas bisectrices:
Esta construcción puede verse en este enlace de CutOutFoldUp.
También os voy a dejar un applet de GeoGebra, pero antes de eso os cuento una curiosidad que puede verse en esta construcción. Vamos a ver el octógono algo más grande y con sus lados en color rojo:
¿Veis algo interesante? Fijaos bien…¡¡Exacto!! Hay otros 8 puntos de corte entre bisectrices:
Y, como estáis imaginando, ¡¡forman otro octógono regular!!:
Y ahora el applet con la construcción inicial, un octógono regular que coincide con el construido el la sorpresa, que es el otro octógono regular del que no se habla enCutOutFoldUp:
[geogebra width="638" height="515" image="http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono2.JPG"]http://gaussianos.com/wp-content/themes/fourier/g_aux/octogono/octogono2.ggb[/geogebra]

Y para terminar, 8+8

Esta última construcción con los octógonos regulares da pie a jugar con ella. y lo que se me ocurrió a mí es dibujar todas las diagonales de los dos octógonos:
Bien, pues si lo hacemos obtenemos un hexadecágono (polígono de 16 lados) regular en el centro del cuadrado:
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